腸腰筋と横隔膜はどのように連動しているのでしょうか？

まず、”流れ”という視点からみてみましょう。
横隔膜が下に伸びている（=横隔膜脚(おうかくまくきゃく)）部分から腹直筋までは、腹腔(ふっくう)を後ろ-下-前と包み込むようにつながっています。
その後側に、壁をつくるように腸腰筋(ちょうようきん)は存在します。
つまり、ご質問の中に出てきております”流れ”と、腸腰筋は、別の構成とお考え頂ければ良いかと存じます。

次に、腸腰筋と横隔膜の連動からみてみましょう。
腸腰筋と横隔膜は、腰椎(ようつい)という同じ骨に足場を持っています。
そのお互いの足場は、共有するかのように近くに存在しているので、お互いのFascia(=線維)を絡めあっています。
この点から申しますと、腰椎の部分で動きが連動していると言えます。
その連動とは、横隔膜が働くことによる「吸気」「呼気」と、腸腰筋が働くことによる骨盤の「前傾」「後傾」が、歌唱時に様々な組み合わせで動くことです。